domingo, 31 de julho de 2011

Geometria/Medidas - Matéria: 3º Bimestre - 6º Ano (5ª série) Material de apoio.

UNIDADES DE MEDIDA DE COMPRIMENTO

De acordo com o SI (sistema internacional de medidas) o metro é considerado a unidade principal de medida de comprimento, seguido de seus múltiplos e submúltiplos. Os múltiplos do metro são o quilômetro (km), hectômetro (hm) e decâmetro (dam) e os submúltiplos são decímetro (dm), centímetro (cm) e milímetro (mm). Entre as medidas são estabelecidos critérios de conversão, de acordo com a tabela a seguir:





A medida que as unidades seguem a orientação da direita os valores são multiplicados por 10. E a medida que seguimos para a esquerda os valores são divididos por 10. Essa tabela de conversão existe para que as valores estejam sempre na mesma unidade. Vamos realizar as seguintes transformações:

10 km em metros → 10 * 10 * 10 * 10 = 10 000 metros

7 hm em dam → 7 * 10 = 70 decâmetros

5 m em cm → 5 * 10 * 10 = 500 centímetros

10 cm em m → 10 : 10 : 10 = 0,1 metros

1000 m em km → 1000 : 10 : 10 : 10 = 1 quilômetro

1 m em hm → 1 : 10 : 10 = 0,01 hectômetro

2 hm em mm → 2 * 10 * 10 * 10 * 10 * 10 = 200 000 milímetros

5 mm em m → 5 : 10 : 10 : 10 = 0,005 metros

4 km em mm → 4 * 10 * 10 * 10 * 10 * 10 * 10 = 4 000 000 milímetros

Por Marcos Noé Pedro da Silva


Ponto, Reta e Plano
Ponto, Reta e Plano são noções primitivas dentre os conceitos geométricos. Os conceitos geométricos são estabelecidos por meio de definições. As noções primitivas são adotadas sem definição. Como podemos imaginar ou formar idéias de ponto, reta e plano, então serão aceitos sem definição.
Podemos ilustrar com as seguintes idéias para entender alguns conceitos primitivos em Geometria:
Ponto: uma estrela, um pingo de caneta, um furo de agulha, ...
Reta: fio esticado, lados de um quadro, ...
Plano: o quadro negro, a superfície de uma mesa, ...
Notações de Ponto, Reta e Plano: As representações de objetos geométricos podem ser realizadas por letras usadas em nosso cotidiano, da seguinte forma:
Pontos A, B, L e M representados por letras maiúsculas latinas;
Retas r, s, x, p, q, u e v representados por letras minúsculas latinas;
Planos Alfa, Beta e Gama representados por letras gregas minúsculas. Plano Alfa (rosa), Plano Beta (azul claro) e Plano Gama (amarelo).
Observação: Por um único ponto passam infinitas retas. De um ponto de vista prático, imagine o Pólo Norte e todas as linhas meridianas (imaginárias) da Terra passando por este ponto. Numa reta, bem como fora dela, há infinitos pontos, mas dois pontos distintos determinam uma única reta. Em um plano e também fora dele, há infinitos pontos.


Por Danielle de Miranda


ÁREA E PERÍMETRO DE FIGURAS PLANAS


Perímetro
O que é perímetro? E como o calculamos?

Perímetro é a medida do comprimento de um contorno.

Observe um campo de futebol, o perímetro dele é o seu contorno que está de vermelho.







Pra fazermos o cálculo do perímetro devemos somar todos os seus lados:
P = 100 + 70 + 100 + 70
P = 340 m




A unidade de medida utilizada no cálculo do perímetro é a mesma unidade de medida de comprimento: metro, centímetro, quilômetro...

Área

Área é a medida de uma superfície.

A área do campo de futebol é a medida de sua superfície (gramado).

Se pegarmos outro campo de futebol e colocarmos em uma malha quadriculada, a sua área será equivalente à quantidade de quadradinho. Se cada quadrado for uma unidade de área:











Veremos que a área do campo de futebol é 70 unidades de área.


A unidade de medida da área é: m2 (metros quadrados), cm2 (centímetros quadrados), e outros.


No estudo da matemática calculamos áreas de figuras planas e para cada figura há uma fórmula pra calcular a sua área.
Por Danielle de Miranda





Área do Retângulo



No cálculo de qualquer retângulo podemos seguir o raciocínio abaixo:





Pegamos um retângulo e colocamos em uma malha quadriculada onde cada quadrado tem dimensões de 1 cm. Se contarmos, veremos que há 24 quadrados de 1 cm de dimensões no retângulo. Como sabemos que a área é a medida da superfície de uma figuras podemos dizer que 24 quadrados de 1 cm de dimensões é a área do retângulo.



O retângulo acima tem as mesmas dimensões que o outro, só que representado de forma diferente. O cálculo da área do retângulo pode ficar também da seguinte forma:

A = 6 . 4
A = 24 m2       e o perímetro = 20 m

Podemos concluir que a área de qualquer retângulo é:






A = b . h


Quadrado
É um tipo de retângulo específico, pois tem todos os lados iguais. Sua área também é calculada com o produto da base pela altura. Mas podemos resumir essa fórmula:








Como todos os lados são iguais, podemos dizer que base é igual 8 cm a e a altura igual a 8 cm, então, substituindo na fórmula A = b . h, temos:

A = 8  . 8 = 64


Área do Triângulo

Nos estudos relacionados à Geometria, o triângulo é considerado uma das figuras mais importantes em razão da sua imensa utilidade no cotidiano. Com o auxílio de um retângulo e suas propriedades, demonstraremos como calcular a área de um triângulo.

No retângulo a seguir foi traçada uma de suas diagonais, dividindo a figura em duas partes iguais.



Note que a área total do retângulo é dada pela expressão A = b x h, considerando que a diagonal dividiu o retângulo em duas partes iguais formando dois triângulos, a área de cada triângulo será igual à metade da área total do retângulo, constituindo na seguinte expressão matemática:



A utilização dessa expressão necessita da altura do triângulo, sendo identificada como uma reta perpendicular à base, isto é, forma com a base um ângulo de 90º.


Por Marcos Noé Pedro da Silva
FONTE: http://mundoeducacao.uol.com.br/matematica/area-triangulo.htm

Ângulos - Matéria 2º Bimestre - 7º ano ( 6ª série) - Material de apoio


Ângulos opostos pelo vértice
Consideremos duas retas concorrentes cuja interseção seja o ponto O. Estas retas determinam quatro ângulos. Os ângulos que não são adjacentes são opostos pelo vértice.
Na figura acima, AÔB e CÔD são ângulos opostos pelo vértice e também AÔD e BÔC são ângulos opostos pelo vértice.


Ângulos congruentes
A congruência entre ângulos é uma noção primitiva. Dizemos que dois ângulos são congruentes se, superpostos um sobre o outro, todos os seus elementos coincidem.
Ângulos congruentes
Na figura em anexo, temos que ABC e DEF são ângulos congruentes. Usamos a notação para denotar ângulos congruentes. Dois ângulos opostos pelo vértice são sempre congruentes.


Medida de um ângulo
A medida de um ângulo indicada por m(AÔB) é um número real positivo associado ao ângulo de tal forma que satisfaz as segintes condições:
  1. Ângulos congruentes possuem medidas iguais e reciprocamente ângulos que possuem medidas iguais são congruentes.
    AÔBDÊF equivale a m(AÔB)=m(DÊF)
  2. Quando afirmamos que um ângulo é maior do que outro, sua medida é maior do que a medida deste outro. Assim: AÔB>DÊF, equivale a
    m(AÔB) > m(DÊF)
  3. A partir de dois ângulos dados, podemos obter um terceiro ângulo, cuja medida corresponde à soma das medidas dos ângulos dados.
    Se m(AÔB) é a medida de AÔB e m(BÔC) é a medida de BÔC, então AÔCAÔB+BÔC. Além disso:
    m(AÔC) = m(AÔB) + m(BÔC)

Fonte: http://pessoal.sercomtel.com.br/matematica/fundam/geometria/geo-ang.htm



Alguns ângulos especiais
Com relação às suas medidas, os ângulos podem ser classificados como: reto, agudo, obtuso e raso.
ÂnguloCaracterísticasGráfico
agudoÂngulo cuja medida é maior do que 0 graus e menor do que 90 graus. Ao lado temos um ângulo de 45 graus
retoUm ângulo reto é um ângulo cuja medida é exatamente 90º. Assim os seus lados estão localizados em retas perpendiculares.
obtusoÉ um ângulo cuja medida está entre 90 graus e 180 graus. Na figura ao lado temos o exemplo de um ângulo obtuso de 135 graus.
rasoÂngulo que mede exatamente 180º, os seus lados são semi-retas opostas. Neste caso os seus lados estão localizados sobre uma mesma reta.
O ângulo reto (90º) é provavelmente o ângulo mais importante, pois o mesmo é encontrado em inúmeras aplicações práticas, como no encontro de uma parede com o chão, os pés de uma mesa em relação ao seu tampo, caixas de papelão, esquadrias de janelas, etc...
Um ângulo de 360 graus é o ângulo que completa o círculo. Após esta volta completa este ângulo coincide com o ângulo de zero graus mas possui a grandeza de 360 graus (360 º).

Fonte: http://pessoal.sercomtel.com.br/matematica/fundam/geometria/geo-ang.htm

Ângulos complementares, suplementares e replementares
Dois ângulos são denominados:
Complementares: se a soma de suas medidas é igual a 90º e neste caso, um ângulo é o complemento do outro.
Suplementares: se a soma de suas medidas é igual a 180º e neste caso, um ângulo é o suplemento do outro.
Replementares: se a soma de suas medidas é igual a 360º e neste caso, um ângulo é o replemento do outro.
Complemento de xSuplemento de xReplemento de x
90º - x 180º - x360º - x

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Atualizada em 24/mar/2005.


FONTE: http://pessoal.sercomtel.com.br/matematica/fundam/geometria/geo-ang.htm

Razões e Proporção - Matéria: 3º Bimestre; 7º ano ( 6ª série ) Material de apoio

Grandeza, Razão e Proporção
José Lucivaldo Leite da Silva (Prof. Zé)


Grandeza: É uma relação numérica estabelecida com um objeto. Assim, a altura de uma árvore, o volume de um tanque, o peso de um corpo, a quantidade pães, entre outros, são grandezas. Grandeza é tudo que você pode contar, medir, pesar, enfim, enumerar.

Razão: é a divisão ou relação entre duas grandezas. Exemplo: se numa classe tivermos 40 meninos e 30 meninas, qual a razão entre o número de meninos e o número de meninas?

Razão =

Razão inversa: é o inverso da razão, assim .

Proporção: é a igualdade entre razões. Exemplo: meu carro faz 13km por litro de combustível, então para 26km preciso de 2L, para 39km preciso de 3L e assim por diante.

1ª situação:

2ª situação:

, logo formam uma proporção.

Observe , se você multiplicar em cruz o resultado será o mesmo: 26 x 3 = 2 x 39 = 78.

Numa proporção, quando multiplicamos em cruz, o resultado é o mesmo. Mas além desta propriedade, temos outras que serão muito úteis:

Numa proporção quando somamos termo a termo: , a razão se mantém.

Numa proporção quando subtraímos termo a termo: , a razão se mantém.

Dadas as proporções:




Grandezas Diretamente Proporcionais (G.D.P.)
Duas grandezas são ditas diretamente proporcionais, quando o aumento de uma implica no aumento da outra, quando a redução de uma implica na redução da outra, ou seja, o que você fizer com uma acontecerá com a outra.

Observação é necessário que satisfaça a propriedade destacada abaixo.

Exemplo: Se numa receita de pudim de microondas uso duas latas de leite condensado, 6 ovos e duas latas de leite, para um pudim. Terei que dobrar a quantidade de cada ingrediente se quiser fazer dois pudins, ou reduzir a metade cada quantidade de ingredientes se quiser, apenas meia receita.

Observe a tabela abaixo que relaciona o preço que tenho que pagar em relação à quantidade de pães que peça:


Preço
R$
0,20 0,40 1,00 2,00 4,00 10,00
Nº de pães 1 2 5 10 20 50

Preço e quantidade de pães são grandezas diretamente proporcionais. Portanto se peço mais pães, pago mais, se peço menos pães, pago menos. Observe que quando dividimos o preço pela quantidade de pães obtemos sempre o mesmo valor.

Propriedade: Em grandezas diretamente proporcionais, a razão é constante.



Grandezas Inversamente Proporcionais (G.I.P.)

Duas grandezas são ditas inversamente proporcionais quando o aumento de uma implica na redução da outra, quando a redução de uma implica no aumento da outra, ou seja, o que você fizer com uma acontecerá o inverso com a outra.

Observação: É necessário que satisfaça a propriedade destacada abaixo.

Exemplo: Numa viagem, quanto maior a velocidade média no percurso, menor será o tempo de viagem. Quanto menor for a velocidade média, maior será o tempo de viagem.

Observe a tabela abaixo que relaciona a velocidade média e o tempo de viagem, para uma distância de 600km.


Velocidade média
(km/h)
60 100 120 150 200 300
Tempo de viagem
(h)
10 6 5 4 3 2

Velocidade média e Tempo de viagem são grandezas inversamente proporcionais, assim se viajo mais depressa levo um tempo menor, se viajo com menor velocidade média levo um tempo maior. Observe que quando multiplicamos a velocidade média pelo tempo de viagem obtemos sempre o mesmo valor.

Propriedade: Em grandezas inversamente proporcionais, o produto é constante.




Fonte: http://www.passeiweb.com/na_ponta_lingua/sala_de_aula/matematica/algebra/grandeza/grandeza_razao_proporcao