Área do trapézio - 6º Ano ( 5ª série ) - Material de Apoio

Área do trapézio

A área do trapézio está relacionada com a área do triângulo que é calculada utilizando a seguinte fórmula: A = b . h (b = base e h = altura).
                                           2
Observe o desenho de um trapézio e os seus elementos mais importantes (elementos utilizados no cálculo da sua área):

Um trapézio é formado por uma base maior (B), por uma base menor (b) e por uma altura (h).

Portanto, no cálculo da área de um trapézio qualquer utilizamos a seguinte fórmula:

A = h (B + b)
              2

h = altura
B = base maior do trapézio
b = base menor do trapézio

Fonte: http://mundoeducacao.uol.com.br/matematica/area-trapezio.htm

Por Danielle de Miranda

Cálculo da Área do Retângulo - 6º Ano ( 5ª série) - Material de Apoio

Cálculo da Área do Retângulo

Por definição o retângulo é um quadrilátero equiângulo (todo os seus ângulos internos são iguais), cujos lados opostos são iguais.
Se todos os seus quatro lados forem iguais, teremos um tipo especial de retângulo, chamado de quadrado.
Por ser o retângulo um paralelogramo, o cálculo da sua área é realizado da mesma forma.
Se denominarmos as medidas dos lados de um retângulo como na figura ao lado, teremos a seguinte fórmula:

A = b . h

Fonte: http://www.matematicadidatica.com.br/GeometriaCalculoAreaFigurasPlanas.aspx

Cálculo da Área do Quadrado - 6º Ano ( 5ªsérie) - Material de Apoio

Cálculo da Área do Quadrado

Todo quadrado é também um losango, mas nem todo losango vem a ser um quadrado, do mesmo modo que todo quadrado é um retângulo, mas nem todo retângulo é um quadrado.
O quadrado é um losango, que além de possuir quatro lados iguais, com diagonais perpendiculares, ainda possui todos os seus ângulos internos iguais a 90°. Observe ainda que além de perpendiculares, as diagonais também são iguais.
Por ser o quadrado um losango e por ser o losango um paralelogramo, podemos utilizar para o cálculo da área do quadrado, as mesmas fórmulas utilizadas para o cálculo da área tanto do losango, quanto do paralelogramo.

Quando dispomos da medida do lado do quadrado, podemos utilizar a fórmula do paralelogramo:


A = b * h

Fonte: http://www.matematicadidatica.com.br/GeometriaCalculoAreaFigurasPlanas.aspx

Cálculo da Área do Paralelogramo - 6º Ano ( 5ª série) Material de Apoio

Cálculo da Área do Paralelogramo

Um quadrilátero cujos lados opostos são iguais e paralelos é denominado paralelogramo.
Com h representando a medida da sua altura e com b representando a medida da sua base, a área do paralelogramo pode ser obtida multiplicando-se b por h, tal como na fórmula abaixo:




Fonte: http://www.matematicadidatica.com.br/GeometriaCalculoAreaFigurasPlanas.aspx

Cálculo da área do Triângulo - 6º ano ( 5ª série) - Material de Apoio

Cálculo da Área do Triângulo

Denominamos de triângulo a um polígono de três lados.
Observe a figura ao lado. A letra h representa a medida da altura do triângulo, assim como letra b representa a medida da sua base.
A área do triângulo será metade do produto do valor da medida da base, pelo valor da medida da altura, tal como na fórmula abaixo:
matemática:



Fonte: http://www.matematicadidatica.com.br/GeometriaCalculoAreaFigurasPlanas.aspx

Razões: Velocidade Média / Escala/ Densidade Demográfica - 6ª séries ( 7º ano) Material de apoio 3º Bimestre

Aplicações práticas das razões

Existem algumas razões especiais muito utilizadas em nosso cotidiano, entre as quais: velocidade média, escala, densidade demográfica e densidade de um corpo.

1. Velocidade Média: A "velocidade média", em geral, é uma grandeza obtida pela razão entre uma distância percorrida (expressa em quilômetros ou metros) e um tempo por ele gasto (expresso em horas, minutos ou segundos).
   
   v_média = distância percorrida / tempo gasto
   
   Exemplo: Suponhamos que um carro de Fórmula MAT percorreu 328Km em 2h. Qual foi a velocidade média do veículo nesse percurso?
   
   
   A partir dos dados do problema, teremos:
   
   v_média = 328 Km / 2h = 164 Km/h
   o que significa que a velocidade média do veículo durante a corrida foi de 164 Km/h, ou seja, para cada hora percorrida o carro se deslocou 164 Km.
2. Escala: Uma das aplicações da razão entre duas grandezas se encontra na escala de redução ou escala de ampliação, conhecidas simplesmente como escala. Chamamos de escala de um desenho à razão entre o comprimento considerado no desenho e o comprimento real correspondente, ambos medidos na mesma unidade.
   
   escala = comprimento no desenho / comprimento real
   Usamos escala quando queremos representar um esboço gráfico de objetos como móveis, plantas de uma casa ou de uma cidade, fachadas de prédios, mapas, maquetes, etc.
   Exemplo: Observemos as figuras dos barcos:
   
   
   Base menor barco azul/Base menor barco vermelho = 2/4
   Base maior barco azul/Base maior barco vermelho = 4/8
   Altura do barco azul/Altura do barco vermelho = 3/6
   O barco vermelho é uma ampliação do barco azul, pois as dimensões do barco vermelho são 2 vezes maiores do que as dimensões do barco azul, ou seja, os lados correspondentes foram reduzidos à metade na mesma proporção.
3. Densidade Demográfica: O cálculo da densidade demográfica, também chamada de população relativa de uma região é considerada uma aplicação de razão entre duas grandezas. Ela expressa a razão entre o numero de habitantes e a área ocupada em uma certa região.
   Exemplo: Em um jogo de vôlei há 6 jogadores para cada time, o que significa 6 jogadores em cada lado da quadra. Se, por algum motivo, ocorre a expulsão de 1 jogador de um time, sendo que não pode haver substituição, observa-se que sobra mais espaço vazio para ser ocupado pelo time que tem um jogador expulso. Neste caso, afirmamos que a densidade demográfica é menor na quadra que tem um jogador expulso e maior na outra quadra.
   Exemplo: Um estado brasileiro ocupa a área de 200.000 Km². De acordo com o censo realizado, o estado tem uma população aproximada de 12.000.000 habitantes. Assim:
   
   dens.demográfica=12.000.000 habitantes/200.000 Km²
   densidade demográfica = 60 habitantes/ Km²
   Isto significa que para cada 1 Km²existem aproximadamente 60 habitantes.
4. Densidade de um Corpo: Densidade de um corpo é mais uma aplicação de razão entre duas grandezas. Assim, a densidade (volumétrica) de um corpo é a razão entre a massa desse corpo, medida em Kg ou gramas e o seu volume, medido em m³, dm³ ou qualquer outra unidade de volume.
   Exemplo: Se uma estátua de bronze possui uma densidade volumétrica de 8,75 kg/dm³ então para cada dm³ há uma massa de 8,75 kg.
   Curiosidade:Devido à existência de densidades diferentes, observamos que ao colocarmos corpos diferentes em um recipiente com água, alguns afundam e outros flutuam.
   
   
   Uma bolinha de isopor flutuará na água enquanto que uma de chumbo, de mesmo volume afundará. Isso ocorre porque a densidade do chumbo é maior que a densidade do isopor. Algumas substâncias e suas densidades estão na tabela abaixo:
   

   Substância	Densidade [g/cm³]
   madeira	0,5
   gasolina	0,7
   álcool	0,8
   alumínio	2,7
   ferro	7,8
   mercúrio	13,6

5. Pi: Uma razão muito famosa: Os egípcios trabalhavam muito com certas razões e descobriram a razão entre o comprimento de uma circunferência e seu diâmetro. Este é um fato fundamental pois esta razão é a mesma para toda circunferência. O nome desta razão é Pi e seu valor é aproximadamente:
   
   Pi = 3,1415926535
   Exemplo: Se C é o comprimento da circunferência e D a medida do diâmetro da circunferência, temos uma razão notável:
   
   C / D = Pi = 3,14159265358979323846264338327950...
   significando que
   
   C = Pi . D
   Exemplo: Se a medida do raio de uma circunferência tem 1,5cm então o perímetro da circunferência é igual a 9,43cm.

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	Construída por Desirée F. Balielo e Ulysses Sodré. Atualizada em 24/mar/2005 FONTE:http://pessoal.sercomtel.com.br/matematica/fundam/razoes/razoes.htm

Segmentos Consecutivos, Colineares, Congruentes - Material de apoio 5ª série ( 6º ano) 3º bimestre

Segmentos Consecutivos, Colineares, Congruentes

Dada uma reta s e dois pontos distintos A e B sobre a reta, o conjunto de todos os pontos localizados entre A e B, inclusive os próprios A e B, recebe o nome de segmento de reta, neste caso, denotado por AB. Às vezes, é interessante trabalhar com segmentos que tem início em um ponto chamado origem e terminam em outro ponto chamado extremidade. Os segmentos de reta são classificados como: consecutivos, colineares,congruentes e adjacentes.

Segmentos Consecutivos: Dois segmentos de reta são consecutivos se, a extremidade de um deles é também extremidade do outro, ou seja, uma extremidade de um coincide com uma extremidade do outro.

AB e BC são consecutivos	MN e NP são consecutivos	EF e GH não são consecutivos

Segmentos Colineares: Dois segmentos de reta são colineares se estão numa mesma reta.

AB e CD são colineares	MN e NP são colineares	EF e FG não são colineares

Sobre segmentos consecutivos e colineares, podemos ter algumas situações:

Os segmentos AB, BC e CD são consecutivos e colineares, mas os segmentos AB e CD não são consecutivos embora sejam colineares, mas os segmentos de reta EF e FG são consecutivos e não são colineares

Segmentos Congruentes: são aqueles que têm as mesmas medidas. No desenho ao lado, AB e CD são congruentes. A congruência entre os segmentos AB e CD é denotada por AB~CD, onde "~" é o símbolo de congruência.

Fonte: http://pessoal.sercomtel.com.br/matematica/fundam/geometria/geo-basico.htm

Retas Paralelas, Retas Concorrentes, Retas Coincidentes - Conteúdo: 6º ano ( 5ª série)

Retas Paralelas
Duas retas distintas no plano são paralelas quando não têm nenhum ponto em comum.

Retas Concorrentes

Retas concorrentes são duas retas que têm direções diferentes(ou seja: não são paralelas) e que, portanto, têm um único ponto em comum.



Um caso particular ocorre quando o ângulo entre duas retas é de 90 graus (ângulo reto).Estas são então chamadas retas perpendiculares
Quando formam quatro ângulos diferentes de 90º são chamadas de retas oblíquas.





Retas Coincidentes

- retas coincidentes: duas retas são coincidentes se pertencem ao mesmo plano e possuem todos os pontos em comum.

Fonte: http://pt.wikipedia.org/wiki/Retas_paralelas
          lapisborrachaepapel.blogspot.com/2009/10/geom...

Curiosidades Matemáticas

Fonte: Praticando a Matemática - Álvaro Andrini / Maria José Vasconcelos

Geometria/Medidas - Matéria: 3º Bimestre - 6º Ano (5ª série) Material de apoio.

UNIDADES DE MEDIDA DE COMPRIMENTO

De acordo com o SI (sistema internacional de medidas) o metro é considerado a unidade principal de medida de comprimento, seguido de seus múltiplos e submúltiplos. Os múltiplos do metro são o quilômetro (km), hectômetro (hm) e decâmetro (dam) e os submúltiplos são decímetro (dm), centímetro (cm) e milímetro (mm). Entre as medidas são estabelecidos critérios de conversão, de acordo com a tabela a seguir:

A medida que as unidades seguem a orientação da direita os valores são multiplicados por 10. E a medida que seguimos para a esquerda os valores são divididos por 10. Essa tabela de conversão existe para que as valores estejam sempre na mesma unidade. Vamos realizar as seguintes transformações:

10 km em metros → 10 * 10 * 10 * 10 = 10 000 metros

7 hm em dam → 7 * 10 = 70 decâmetros

5 m em cm → 5 * 10 * 10 = 500 centímetros

10 cm em m → 10 : 10 : 10 = 0,1 metros

1000 m em km → 1000 : 10 : 10 : 10 = 1 quilômetro

1 m em hm → 1 : 10 : 10 = 0,01 hectômetro

2 hm em mm → 2 * 10 * 10 * 10 * 10 * 10 = 200 000 milímetros

5 mm em m → 5 : 10 : 10 : 10 = 0,005 metros

4 km em mm → 4 * 10 * 10 * 10 * 10 * 10 * 10 = 4 000 000 milímetros

Por Marcos Noé Pedro da Silva

FONTE: http://mundoeducacao.uol.com.br/matematica/unidades-medida-comprimento.htm

Ponto, Reta e Plano

Ponto, Reta e Plano são noções primitivas dentre os conceitos geométricos. Os conceitos geométricos são estabelecidos por meio de definições. As noções primitivas são adotadas sem definição. Como podemos imaginar ou formar idéias de ponto, reta e plano, então serão aceitos sem definição.
Podemos ilustrar com as seguintes idéias para entender alguns conceitos primitivos em Geometria:
Ponto: uma estrela, um pingo de caneta, um furo de agulha, ...

Reta: fio esticado, lados de um quadro, ...

Plano: o quadro negro, a superfície de uma mesa, ...

Notações de Ponto, Reta e Plano: As representações de objetos geométricos podem ser realizadas por letras usadas em nosso cotidiano, da seguinte forma:

Pontos A, B, L e M representados por letras maiúsculas latinas;
Retas r, s, x, p, q, u e v representados por letras minúsculas latinas;
Planos Alfa, Beta e Gama representados por letras gregas minúsculas. Plano Alfa (rosa), Plano Beta (azul claro) e Plano Gama (amarelo).

Observação: Por um único ponto passam infinitas retas. De um ponto de vista prático, imagine o Pólo Norte e todas as linhas meridianas (imaginárias) da Terra passando por este ponto. Numa reta, bem como fora dela, há infinitos pontos, mas dois pontos distintos determinam uma única reta. Em um plano e também fora dele, há infinitos pontos.

Por Danielle de Miranda

FONTE: http://pessoal.sercomtel.com.br/matematica/fundam/geometria/geo-basico.htm

ÁREA E PERÍMETRO DE FIGURAS PLANAS

Perímetro
O que é perímetro? E como o calculamos?

Perímetro é a medida do comprimento de um contorno.

Observe um campo de futebol, o perímetro dele é o seu contorno que está de vermelho.

Pra fazermos o cálculo do perímetro devemos somar todos os seus lados:
P = 100 + 70 + 100 + 70
P = 340 m




A unidade de medida utilizada no cálculo do perímetro é a mesma unidade de medida de comprimento: metro, centímetro, quilômetro...

Área

Área é a medida de uma superfície.

A área do campo de futebol é a medida de sua superfície (gramado).

Se pegarmos outro campo de futebol e colocarmos em uma malha quadriculada, a sua área será equivalente à quantidade de quadradinho. Se cada quadrado for uma unidade de área:

Veremos que a área do campo de futebol é 70 unidades de área.


A unidade de medida da área é: m² (metros quadrados), cm² (centímetros quadrados), e outros.


No estudo da matemática calculamos áreas de figuras planas e para cada figura há uma fórmula pra calcular a sua área.

Por Danielle de Miranda

FONTE: http://mundoeducacao.uol.com.br/matematica/area-perimetro.htm

Área do Retângulo



No cálculo de qualquer retângulo podemos seguir o raciocínio abaixo:

Pegamos um retângulo e colocamos em uma malha quadriculada onde cada quadrado tem dimensões de 1 cm. Se contarmos, veremos que há 24 quadrados de 1 cm de dimensões no retângulo. Como sabemos que a área é a medida da superfície de uma figuras podemos dizer que 24 quadrados de 1 cm de dimensões é a área do retângulo.

O retângulo acima tem as mesmas dimensões que o outro, só que representado de forma diferente. O cálculo da área do retângulo pode ficar também da seguinte forma:

A = 6 . 4
A = 24 m^{2       e o perímetro = 20 m}

Podemos concluir que a área de qualquer retângulo é:

A = b . h


Quadrado
É um tipo de retângulo específico, pois tem todos os lados iguais. Sua área também é calculada com o produto da base pela altura. Mas podemos resumir essa fórmula:

Como todos os lados são iguais, podemos dizer que base é igual 8 cm a e a altura igual a 8 cm, então, substituindo na fórmula A = b . h, temos:

A = 8  . 8 = 64

FONTE: http://mundoeducacao.uol.com.br/matematica/area-retangulo.htm

Área do Triângulo

Nos estudos relacionados à Geometria, o triângulo é considerado uma das figuras mais importantes em razão da sua imensa utilidade no cotidiano. Com o auxílio de um retângulo e suas propriedades, demonstraremos como calcular a área de um triângulo.

No retângulo a seguir foi traçada uma de suas diagonais, dividindo a figura em duas partes iguais.

Note que a área total do retângulo é dada pela expressão A = b x h, considerando que a diagonal dividiu o retângulo em duas partes iguais formando dois triângulos, a área de cada triângulo será igual à metade da área total do retângulo, constituindo na seguinte expressão matemática:

A utilização dessa expressão necessita da altura do triângulo, sendo identificada como uma reta perpendicular à base, isto é, forma com a base um ângulo de 90º.

Por Marcos Noé Pedro da Silva
FONTE: http://mundoeducacao.uol.com.br/matematica/area-triangulo.htm

Ângulos - Matéria 2º Bimestre - 7º ano ( 6ª série) - Material de apoio

Ângulos opostos pelo vértice

Consideremos duas retas concorrentes cuja interseção seja o ponto O. Estas retas determinam quatro ângulos. Os ângulos que não são adjacentes são opostos pelo vértice.

Na figura acima, AÔB e CÔD são ângulos opostos pelo vértice e também AÔD e BÔC são ângulos opostos pelo vértice.

Ângulos congruentes

A congruência entre ângulos é uma noção primitiva. Dizemos que dois ângulos são congruentes se, superpostos um sobre o outro, todos os seus elementos coincidem.

Na figura em anexo, temos que ABC e DEF são ângulos congruentes. Usamos a notação para denotar ângulos congruentes. Dois ângulos opostos pelo vértice são sempre congruentes.

Medida de um ângulo

A medida de um ângulo indicada por m(AÔB) é um número real positivo associado ao ângulo de tal forma que satisfaz as segintes condições:

1. Ângulos congruentes possuem medidas iguais e reciprocamente ângulos que possuem medidas iguais são congruentes.
   
   AÔBDÊF equivale a m(AÔB)=m(DÊF)
2. Quando afirmamos que um ângulo é maior do que outro, sua medida é maior do que a medida deste outro. Assim: AÔB>DÊF, equivale a
   
   m(AÔB) > m(DÊF)
3. A partir de dois ângulos dados, podemos obter um terceiro ângulo, cuja medida corresponde à soma das medidas dos ângulos dados.
   
   
   Se m(AÔB) é a medida de AÔB e m(BÔC) é a medida de BÔC, então AÔCAÔB+BÔC. Além disso:
   
   m(AÔC) = m(AÔB) + m(BÔC)

Fonte: http://pessoal.sercomtel.com.br/matematica/fundam/geometria/geo-ang.htm

Alguns ângulos especiais

Com relação às suas medidas, os ângulos podem ser classificados como: reto, agudo, obtuso e raso.

Ângulo	Características	Gráfico
agudo	Ângulo cuja medida é maior do que 0 graus e menor do que 90 graus. Ao lado temos um ângulo de 45 graus
reto	Um ângulo reto é um ângulo cuja medida é exatamente 90º. Assim os seus lados estão localizados em retas perpendiculares.
obtuso	É um ângulo cuja medida está entre 90 graus e 180 graus. Na figura ao lado temos o exemplo de um ângulo obtuso de 135 graus.
raso	Ângulo que mede exatamente 180º, os seus lados são semi-retas opostas. Neste caso os seus lados estão localizados sobre uma mesma reta.

O ângulo reto (90º) é provavelmente o ângulo mais importante, pois o mesmo é encontrado em inúmeras aplicações práticas, como no encontro de uma parede com o chão, os pés de uma mesa em relação ao seu tampo, caixas de papelão, esquadrias de janelas, etc...
Um ângulo de 360 graus é o ângulo que completa o círculo. Após esta volta completa este ângulo coincide com o ângulo de zero graus mas possui a grandeza de 360 graus (360 º).

Fonte: http://pessoal.sercomtel.com.br/matematica/fundam/geometria/geo-ang.htm

Ângulos complementares, suplementares e replementares

Dois ângulos são denominados:
Complementares: se a soma de suas medidas é igual a 90º e neste caso, um ângulo é o complemento do outro.
Suplementares: se a soma de suas medidas é igual a 180º e neste caso, um ângulo é o suplemento do outro.
Replementares: se a soma de suas medidas é igual a 360º e neste caso, um ângulo é o replemento do outro.

Complemento de x	Suplemento de x	Replemento de x
90º - x	180º - x	360º - x

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	Construída por: Giovana K.A.M.Viana, Sônia F.L.Toffoli e Ulysses Sodré Atualizada em 24/mar/2005. FONTE: http://pessoal.sercomtel.com.br/matematica/fundam/geometria/geo-ang.htm